Ecuaciones de Segundo Grado: Guía Definitiva con 40+ Ejercicios Resueltos

Aprende a resolver ecuaciones bicuadradas, irracionales, con denominadores y sistemas no lineales. Todo explicado paso a paso para estudiantes de 3º y 4º ESO.

📚 Tipos de Ecuaciones que Aprenderás

✅ Ecuaciones completas
ax² + bx + c = 0 🔄 Ecuaciones bicuadradas
x⁴ - 5x² + 4 = 0 √ Ecuaciones irracionales
√(x+4) - 7 = 0 📝 Con denominadores
x/(x²-1) + ... 🔍 Ecuaciones factorizadas
(x²-4)(x-3)=0 ⚡ Sistemas no lineales
{x² - y = 4; 2x - y = 1}

1. Ecuaciones de Segundo Grado Completas

1

Fórmula General (Resolvente)

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

El discriminante Δ = b² - 4ac determina el tipo de soluciones:

• Δ > 0 → Dos soluciones reales distintas
• Δ = 0 → Una solución doble (real)
• Δ < 0 → Sin soluciones reales

Ejercicio a) 2x² + 5x = 5 + 3x - x²

2x² + 5x = 5 + 3x - x²

Paso 1: Pasamos todo al primer miembro

2x² + x² + 5x - 3x - 5 = 0

Paso 2: Reducimos términos semejantes

3x² + 2x - 5 = 0

Paso 3: Aplicamos la fórmula general

a = 3, b = 2, c = -5

Δ = b² - 4ac = 2² - 4·3·(-5) = 4 + 60 = 64

x = [-2 ± √64] / (2·3) = [-2 ± 8] / 6

Paso 4: Calculamos las dos soluciones

x₁ = (-2 + 8)/6 = 6/6 = 1

x₂ = (-2 - 8)/6 = -10/6 = -5/3

✅ Soluciones: x₁ = 1, x₂ = -5/3

Ejercicio d) (4 - 3x)² - 64 = 0

(4 - 3x)² - 64 = 0

Paso 1: Desarrollamos el cuadrado

(4 - 3x)² = 16 - 24x + 9x²

16 - 24x + 9x² - 64 = 0

Paso 2: Simplificamos

9x² - 24x - 48 = 0

Paso 3: Dividimos por 3

3x² - 8x - 16 = 0

Paso 4: Aplicamos fórmula general

a = 3, b = -8, c = -16

Δ = (-8)² - 4·3·(-16) = 64 + 192 = 256

x = [8 ± √256] / 6 = [8 ± 16] / 6

Paso 5: Soluciones

x₁ = (8 + 16)/6 = 24/6 = 4

x₂ = (8 - 16)/6 = -8/6 = -4/3

✅ Soluciones: x₁ = 4, x₂ = -4/3

2. Ecuaciones Bicuadradas (x⁴)

📝 Método: Hacer cambio de variable z = x², resolver la ecuación en z, luego x = ±√z (solo si z ≥ 0).

Ejercicio 24a) x⁴ - 5x² + 4 = 0

x⁴ - 5x² + 4 = 0

Paso 1: Cambio de variable: z = x²

z² - 5z + 4 = 0

Paso 2: Resolvemos en z

Δ = (-5)² - 4·1·4 = 25 - 16 = 9

z = [5 ± √9] / 2 = [5 ± 3] / 2

Paso 3: Valores de z

z₁ = (5 + 3)/2 = 4

z₂ = (5 - 3)/2 = 1

Paso 4: Deshacemos el cambio

Para z₁ = 4 → x = ±√4 = ±2

Para z₂ = 1 → x = ±√1 = ±1

✅ 4 soluciones reales: x = ±1, x = ±2

📊 Tipos de Ecuaciones Bicuadradas

Tipo	Ejemplo	Soluciones	Condición
4 soluciones	x⁴ - 5x² + 4 = 0	x = ±1, ±2	z₁ > 0, z₂ > 0
2 soluciones	x⁴ - 77x² - 324 = 0	x = ±9	Una z positiva
Sin soluciones	x⁴ + 13x² + 36 = 0	∄	z₁, z₂ < 0

3. Ecuaciones Irracionales (con raíces)

⚠️ ¡IMPORTANTE! Siempre hay que comprobar las soluciones. Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas.

Ejercicio 25a) √(x + 4) - 7 = 0

√(x + 4) - 7 = 0

Paso 1: Aislamos la raíz

√(x + 4) = 7

Paso 2: Elevamos al cuadrado

[√(x + 4)]² = 7²

x + 4 = 49

Paso 3: Resolvemos

x = 49 - 4 = 45

Paso 4: COMPROBACIÓN (obligatoria)

√(45 + 4) - 7 = √49 - 7 = 7 - 7 = 0 ✓

✅ Solución válida: x = 45

¿Por qué hay que comprobar en ecuaciones irracionales?

Al elevar al cuadrado, podemos introducir soluciones falsas. Ejemplo: √x = -2 → x = 4 al elevar, pero √4 = 2 ≠ -2. ¡Siempre comprueba!

4. Ecuaciones con Denominadores (Fracciones)

4

Método de Resolución

1. Calcular el mcm de los denominadores
2. Multiplicar TODOS los términos por el mcm
3. Simplificar denominadores
4. Resolver la ecuación resultante
5. Comprobar que no anula denominadores

Ejercicio 27r) x/(x² - 1) - (3 - x)/(x² + x) = (2x - 3)/(x² - x)

x/(x² - 1) - (3 - x)/(x² + x) = (2x - 3)/(x² - x)

Paso 1: Factorizamos denominadores

x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

x² + x = x(x + 1)

x² - x = x(x - 1)

Paso 2: Calculamos mcm

mcm = x(x - 1)(x + 1)

Paso 3: Multiplicamos por el mcm

x·x - (3 - x)(x - 1) = (2x - 3)(x + 1)

Paso 4: Desarrollamos

x² - [3x - 3 - x² + x] = 2x² + 2x - 3x - 3

x² - 3x + 3 + x² - x = 2x² - x - 3

Paso 5: Simplificamos

2x² - 4x + 3 = 2x² - x - 3

-4x + 3 = -x - 3

-3x = -6

x = 2

Paso 6: Comprobamos denominadores

Para x = 2: x² - 1 = 3 ≠ 0 ✓

x² + x = 6 ≠ 0 ✓

x² - x = 2 ≠ 0 ✓

✅ Solución válida: x = 2

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❓ Preguntas Frecuentes

¿Cuándo una ecuación bicuadrada tiene 4 soluciones?

Cuando al hacer z = x², la ecuación en z tiene dos soluciones positivas. Entonces x = ±√z₁ y x = ±√z₂.

¿Por qué siempre comprobar en ecuaciones irracionales?

Al elevar al cuadrado, podemos introducir soluciones falsas. Ejemplo: √x = -3 → x = 9 al elevar, pero √9 = 3 ≠ -3.

¿Qué hacer si x = 0 anula denominadores?

¡Cuidado! Si x = 0 anula algún denominador, NO es solución válida. Debemos descartarla.

¿Cómo sé si un sistema no lineal tiene solución?

Resuélvelo normalmente. Si obtienes una contradicción (ej: 3 = 5) o Δ < 0, el sistema no tiene solución real.

✅ Conclusión: Claves para Dominar las Ecuaciones

📝 Ecuaciones completas

Memoriza la fórmula general y practica el cálculo del discriminante.

🔄 Ecuaciones bicuadradas

Cambio z = x² es clave. Solo hay solución si z ≥ 0.

√ Ecuaciones irracionales

SIEMPRE comprueba. No confíes en las soluciones sin verificar.

📝 Con denominadores

Calcula bien el mcm y verifica que las soluciones no lo anulen.

💡 Consejo final: Practica 30 minutos diarios durante 2 semanas. Resuelve al menos 5 ejercicios de cada tipo. La constancia es más importante que la intensidad. ¡Tú puedes!

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