Guía completa de ecuaciones matemáticas con más de 150 ejercicios resueltos paso a paso.

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GUÍA COMPLETA DE ECUACIONES MATEMÁTICAS

Más de 150 ejercicios resueltos paso a paso | Teoría + Ejemplos + Soluciones detalladas

150+ EJERCICIOS RESUELTOS | TODOS LOS NIVELES

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ÍNDICE DE CONTENIDOS

1. Teoría Básica de Ecuaciones 2. Ecuaciones Lineales 3. Ecuaciones de Segundo Grado (50+ ejercicios) 4. Ecuaciones Factorizadas (15 ejercicios) 5. Ecuaciones Bicuadradas (30 ejercicios) 6. Ecuaciones Irracionales (25 ejercicios) 7. Ecuaciones con Denominadores (20 ejercicios) 8. Sistemas No Lineales (15 ejercicios) 9. Consejos Finales y Recursos

1. TEORÍA BÁSICA DE ECUACIONES

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones que contiene una o más incógnitas (variables). Resolver una ecuación significa encontrar el valor o valores de las incógnitas que hacen que la igualdad sea verdadera.

Partes de una ecuación

Toda ecuación tiene dos partes separadas por el signo igual (=):

• Primer miembro: Lo que está a la izquierda del signo igual
• Segundo miembro: Lo que está a la derecha del signo igual
• Incógnitas: Letras que representan valores desconocidos (x, y, z)
• Solución o raíz: Valor(es) de la incógnita que hacen verdadera la igualdad

Tipos de ecuaciones según su grado

Ecuaciones Lineales

Grado 1: ax + b = 0

Ecuaciones Cuadráticas

Grado 2: ax² + bx + c = 0

Ecuaciones Bicuadradas

Grado 4: ax⁴ + bx² + c = 0

2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - 50+ EJERCICIOS

Fórmula General para Ecuaciones de Segundo Grado

x = [-b ± √(b² - 4ac)]/(2a)

Donde:

• a, b, c: Coeficientes de la ecuación ax² + bx + c = 0
• Discriminante (D): D = b² - 4ac
• Si D > 0: Dos soluciones reales distintas
• Si D = 0: Una solución real doble
• Si D < 0: No hay soluciones reales

Ejercicio 6c

(5x - 3)² - (4x + 1)² = 0

Paso 1: Identificar como diferencia de cuadrados
a² - b² = (a + b)(a - b)
Donde a = 5x - 3, b = 4x + 1

Paso 2: Aplicar la fórmula
[(5x - 3) + (4x + 1)] × [(5x - 3) - (4x + 1)] = 0
(9x - 2)(x - 4) = 0

Paso 3: Igualar cada factor a cero
9x - 2 = 0 → x = 2/9
x - 4 = 0 → x = 4

Paso 4: Soluciones finales
x₁ = 2/9, x₂ = 4

Ejercicio 6d

(4 - 3x)² - 64 = 0

Paso 1: Escribir 64 como 8²
(4 - 3x)² - 8² = 0

Paso 2: Diferencia de cuadrados
[(4 - 3x) + 8][(4 - 3x) - 8] = 0
(12 - 3x)(-4 - 3x) = 0

Paso 3: Resolver cada factor
12 - 3x = 0 → x = 4
-4 - 3x = 0 → x = -4/3

Paso 4: Soluciones
x₁ = 4, x₂ = -4/3

Ejercicio 6e

2(x + 1)² = 8 - 3x

Paso 1: Expandir el cuadrado
2(x² + 2x + 1) = 8 - 3x
2x² + 4x + 2 = 8 - 3x

Paso 2: Pasar todo al primer miembro
2x² + 4x + 2 - 8 + 3x = 0
2x² + 7x - 6 = 0

Paso 3: Aplicar fórmula general
a = 2, b = 7, c = -6
x = [-7 ± √(49 + 48)]/4
x = [-7 ± √97]/4

Paso 4: Soluciones
x₁ = (-7 + √97)/4
x₂ = (-7 - √97)/4

Ejercicio 6f

(2x - 4)² - 2x(x - 2) = 48

Paso 1: Expandir
4x² - 16x + 16 - 2x² + 4x = 48
2x² - 12x + 16 = 48

Paso 2: Simplificar
2x² - 12x - 32 = 0
x² - 6x - 16 = 0

Paso 3: Resolver
x = [6 ± √(36 + 64)]/2
x = [6 ± √100]/2
x = [6 ± 10]/2

Paso 4: Soluciones
x₁ = (6 + 10)/2 = 8
x₂ = (6 - 10)/2 = -2

Ejercicio 6g

(2x - 3)² + x² + 6 = (3x + 1)(3x - 1)

Paso 1: Expandir ambos lados
4x² - 12x + 9 + x² + 6 = 9x² - 1
5x² - 12x + 15 = 9x² - 1

Paso 2: Pasar todo a un lado
0 = 4x² + 12x - 16
4x² + 12x - 16 = 0

Paso 3: Simplificar
x² + 3x - 4 = 0

Paso 4: Resolver
(x + 4)(x - 1) = 0
x₁ = -4, x₂ = 1

Ejercicio 6h

(3x - 2)² = (2x + 3)(2x - 3) + 3(x + 1)

Paso 1: Expandir
9x² - 12x + 4 = 4x² - 9 + 3x + 3
9x² - 12x + 4 = 4x² + 3x - 6

Paso 2: Pasar todo a un lado
5x² - 15x + 10 = 0
x² - 3x + 2 = 0

Paso 3: Factorizar
(x - 1)(x - 2) = 0

Paso 4: Soluciones
x₁ = 1, x₂ = 2

3. ECUACIONES FACTORIZADAS - 15 EJERCICIOS

Propiedad del Producto Nulo

Si el producto de varios factores es cero, entonces al menos uno de los factores debe ser cero.

a × b × c = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 ∨ c = 0

Ejercicio 23a

(x² - 4)(x² + 1)(x - 3) = 0

Paso 1: Aplicar propiedad del producto nulo
x² - 4 = 0 ∨ x² + 1 = 0 ∨ x - 3 = 0

Paso 2: Resolver x² - 4 = 0
x² = 4 → x = ±2

Paso 3: Resolver x² + 1 = 0
x² = -1 → No tiene solución real

Paso 4: Resolver x - 3 = 0
x = 3

Paso 5: Soluciones finales
x = -2, x = 2, x = 3

Ejercicio 23b

(x² - 3x)(2x + 3)(x - 1) = 0

Paso 1: Factorizar x² - 3x
x(x - 3) = 0

Paso 2: Reescribir ecuación
x(x - 3)(2x + 3)(x - 1) = 0

Paso 3: Aplicar propiedad del producto nulo
x = 0 ∨ x - 3 = 0 ∨ 2x + 3 = 0 ∨ x - 1 = 0

Paso 4: Resolver cada ecuación
x = 0
x - 3 = 0 → x = 3
2x + 3 = 0 → x = -3/2
x - 1 = 0 → x = 1

Paso 5: Soluciones finales
x = -3/2, x = 0, x = 1, x = 3

4. ECUACIONES BICUADRADAS - 30 EJERCICIOS

Método de Resolución de Ecuaciones Bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas tienen la forma: ax⁴ + bx² + c = 0

1. Paso 1: Hacer cambio de variable t = x²
2. Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática at² + bt + c = 0
3. Paso 3: Para cada solución t positiva, calcular x = ±√t
4. Paso 4: Descartar soluciones t negativas (en números reales)

Ejercicio 24a

x⁴ - 5x² + 4 = 0

Paso 1: Cambio de variable t = x²
t² - 5t + 4 = 0

Paso 2: Resolver ecuación cuadrática
t = [5 ± √(25 - 16)]/2
t = [5 ± √9]/2
t = [5 ± 3]/2

Paso 3: Calcular valores de t
t₁ = (5 + 3)/2 = 4
t₂ = (5 - 3)/2 = 1

Paso 4: Deshacer cambio t = x²
Para t₁ = 4: x² = 4 → x = ±2
Para t₂ = 1: x² = 1 → x = ±1

Paso 5: Soluciones finales
x = -2, x = -1, x = 1, x = 2

Ejercicio 24b

x⁴ - 5x² - 36 = 0

Paso 1: Cambio de variable t = x²
t² - 5t - 36 = 0

Paso 2: Resolver ecuación cuadrática
t = [5 ± √(25 + 144)]/2
t = [5 ± √169]/2
t = [5 ± 13]/2

Paso 3: Calcular valores de t
t₁ = (5 + 13)/2 = 9
t₂ = (5 - 13)/2 = -4

Paso 4: Deshacer cambio (solo t positiva)
Para t₁ = 9: x² = 9 → x = ±3
t₂ = -4 no da solución real

Paso 5: Soluciones finales
x = -3, x = 3

√ 5. ECUACIONES IRRACIONALES - 25 EJERCICIOS

Pasos para Resolver Ecuaciones Irracionales

1. Paso 1: Aislar una raíz en un lado de la ecuación
2. Paso 2: Elevar al cuadrado ambos lados
3. Paso 3: Si quedan raíces, repetir pasos 1-2
4. Paso 4: Resolver la ecuación resultante
5. Paso 5: COMPROBAR todas las soluciones en la ecuación original

Ejercicio 25a

√(4x - 7) = 0

Paso 1: La raíz ya está aislada
√(4x - 7) = 0

Paso 2: Elevar al cuadrado
4x - 7 = 0

Paso 3: Resolver
4x = 7 → x = 7/4

Paso 4: Comprobar
√(4·(7/4) - 7) = √(7 - 7) = √0 = 0 ✓

Nota: La solución original dice x = 45, pero hay discrepancia.

Ejercicio 25b

√(x - 25) = 2x - 1

Paso 1: Elevar al cuadrado (con condiciones)
x - 25 = (2x - 1)²
Condición: 2x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1/2

Paso 2: Expandir
x - 25 = 4x² - 4x + 1
0 = 4x² - 5x + 26

Paso 3: Resolver ecuación cuadrática
x = [5 ± √(25 - 416)]/8
x = [5 ± √(-391)]/8 → No tiene solución real

Conclusión: No hay solución real

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