Problemas de ecuaciones 3º ESO resueltos paso a paso (tipo examen)

57 Problemas de Ecuaciones Resueltos para 3º ESO

Ecuaciones de primer grado, segundo grado y sistemas de ecuaciones | Problemas prácticos con solución explicada

En esta guía encontrarás 57 problemas de ecuaciones resueltos especialmente seleccionados para 3º ESO. Incluye problemas de ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado y sistemas de ecuaciones. Cada problema viene con su solución para que puedas practicar y comprobar tus resultados. Perfectos para preparar exámenes y mejorar en matemáticas.

📑 Tipos de problemas incluidos

• Números consecutivos
• Áreas y perímetros
• Problemas de edades
• Mezclas y proporciones

• Velocidad y distancia
• Reparto de cantidades
• Geometría aplicada
• Situaciones comerciales

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Clases particulares online de matemáticas para 3º ESO

1. Problemas de Números Consecutivos y Productos

📘 Problema 29: Dos números consecutivos

Enunciado: Hallar dos números positivos consecutivos cuyo producto sea 380.

Planteamiento:

Sean x y (x+1) los dos números consecutivos:

x(x + 1) = 380
x² + x = 380
x² + x - 380 = 0

Resolución con fórmula general:

a = 1, b = 1, c = -380
Δ = 1² - 4(1)(-380) = 1 + 1520 = 1521
x = (-1 ± √1521) / 2 = (-1 ± 39) / 2

x₁ = 38/2 = 19 (válida, es positiva)

x₂ = -40/2 = -20 (no válida, es negativa)

✅ Solución: Los números son 19 y 20

Comprobación: 19 × 20 = 380 ✓

📗 Problema 30: Triple más doble del cuadrado

Enunciado: Calcular un número positivo sabiendo que su triple más el doble de su cuadrado es 119.

Planteamiento:

3x + 2x² = 119
2x² + 3x - 119 = 0

Resolución:

a = 2, b = 3, c = -119
Δ = 9 - 4(2)(-119) = 9 + 952 = 961
x = (-3 ± √961) / 4 = (-3 ± 31) / 4

x₁ = 28/4 = 7 (válida)

x₂ = -34/4 = -8.5 (no válida, es negativa)

✅ Solución: El número es 7

Comprobación: 3(7) + 2(7²) = 21 + 98 = 119 ✓

📙 Problema 71: Impares consecutivos

Enunciado: Calcular dos números naturales impares consecutivos cuyo producto sea 195.

Planteamiento:

Sean x y (x+2) dos impares consecutivos:

x(x + 2) = 195
x² + 2x - 195 = 0

Resolución:

Δ = 4 + 780 = 784
x = (-2 ± 28) / 2

x₁ = 13

x₂ = -15 (no válida)

✅ Solución: Los números son 13 y 15

Comprobación: 13 × 15 = 195 ✓

2. Problemas de Áreas, Perímetros y Geometría

📐 Problema 31a: Área de rectángulo

Enunciado: Calcular x para que un rectángulo de lados (x+3) y (x/2) tenga área 12 cm².

Planteamiento:

(x + 3) · (x/2) = 12
x²/2 + 3x/2 = 12
x² + 3x = 24
x² + 3x - 24 = 0

Resolución:

Δ = 9 + 96 = 105
x = (-3 ± √105) / 2
x ≈ (-3 ± 10.25) / 2

x₁ ≈ 3.62 cm (válida)

✅ Solución: x ≈ 3.62 cm (o aproximadamente 1.37 según simplificación)

📐 Problema 38: Cerca de finca rectangular

Enunciado: Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las dimensiones.

Planteamiento:

Sean x e y las dimensiones:

{ x · y = 750
{ 2x + 2y = 110 → x + y = 55

De la segunda ecuación: y = 55 - x

Sustituimos en la primera:

x(55 - x) = 750
55x - x² = 750
x² - 55x + 750 = 0

Resolución:

Δ = 3025 - 3000 = 25
x = (55 ± 5) / 2

x₁ = 30 m, y₁ = 25 m

x₂ = 25 m, y₂ = 30 m

✅ Solución: 25 m × 30 m

Comprobación: 25 × 30 = 750 m² ✓ y 2(25+30) = 110 m ✓

📐 Problema 40: Rectángulo con diagonal

Enunciado: Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es 34 cm y su diagonal 13 cm.

Planteamiento:

{ 2x + 2y = 34 → x + y = 17
{ x² + y² = 13² = 169 (Pitágoras)

De la primera: y = 17 - x

Sustituimos en la segunda:

x² + (17-x)² = 169
x² + 289 - 34x + x² = 169
2x² - 34x + 120 = 0
x² - 17x + 60 = 0

Resolución:

Δ = 289 - 240 = 49
x = (17 ± 7) / 2

x₁ = 12 cm, y₁ = 5 cm

✅ Solución: 12 cm × 5 cm

Comprobación: √(12² + 5²) = √169 = 13 cm ✓

3. Problemas de Edades (Sistemas de Ecuaciones)

👨‍👦 Problema 44: Padre e hijo

Enunciado: Un padre tiene el doble de edad que su hijo. Hace 17 años, tenía el triple. Hallar la edad de ambos.

Planteamiento:

Sean P = edad del padre, H = edad del hijo:

{ P = 2H (actualmente)
{ P - 17 = 3(H - 17) (hace 17 años)

Resolución por sustitución:

Sustituimos P = 2H en la segunda ecuación:
2H - 17 = 3H - 51
-H = -34
H = 34 años

Por tanto: P = 2(34) = 68 años

✅ Solución: Padre 68 años, Hijo 34 años

Comprobación: Hace 17 años → 51 y 17 → 51 = 3(17) ✓

👨‍👧 Problema 61: Javier y Nuria

Enunciado: Javier tiene 27 años más que su hija Nuria. Dentro de ocho años, la edad de Javier doblará la de Nuria. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Planteamiento:

{ J = N + 27
{ J + 8 = 2(N + 8)

Resolución:

(N + 27) + 8 = 2N + 16
N + 35 = 2N + 16
19 = N

Nuria = 19 años, Javier = 46 años

✅ Solución: Javier 46 años, Nuria 19 años

4. Problemas Comerciales y Reparto de Cantidades

💰 Problema 53: Comida entre amigos

Enunciado: Un grupo de amigos celebra una comida cuyo coste total asciende a 120 €. Uno de ellos hace notar que, si fueran cuatro más, hubieran pagado 5 € menos por persona. ¿Cuántos amigos son y cuánto paga cada uno?

Planteamiento:

Sea x = número de amigos:

Pagan actualmente: 120/x €/persona
Si fueran (x+4): 120/(x+4) €/persona

La diferencia es 5 €:

120/x - 120/(x+4) = 5
120(x+4) - 120x = 5x(x+4)
480 = 5x² + 20x
x² + 4x - 96 = 0

Resolución:

Δ = 16 + 384 = 400
x = (-4 ± 20) / 2
x = 8 amigos

Cada uno paga: 120/8 = 15 €

✅ Solución: 8 amigos, 15 € cada uno

✏️ Problema 60: Paquete de bolígrafos

Enunciado: En una papelería venden el paquete de bolígrafos a 12 €. Si el precio de un bolígrafo subiera 0,10 €, para mantener ese precio total cada paquete debería tener 4 bolígrafos menos. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo y cuántos trae cada paquete?

Planteamiento:

Sean: x = nº de bolígrafos, y = precio de cada uno:

{ x · y = 12
{ (x - 4)(y + 0.10) = 12

De la primera: y = 12/x

Sustituimos en la segunda:

(x - 4)(12/x + 0.10) = 12
12 - 48/x + 0.10x - 0.40 = 12
0.10x - 48/x = 0.40
x - 480/x = 4
x² - 4x - 480 = 0

Resolución:

Δ = 16 + 1920 = 1936
x = (4 ± 44) / 2
x = 24 bolígrafos

Precio: y = 12/24 = 0.50 € (50 céntimos)

✅ Solución: 24 bolígrafos a 0.50 € cada uno

Resumen de Todos los Problemas (Soluciones Rápidas)

📚 Lista completa de problemas y soluciones:

32. Libro de Juan → 300 págs.; 60 leídas

33. Cómics de Paloma → 150 cómics

34. Cuadrado babilónico → Lado 30

35. Árboles → 80 almendros, 170 olivos

36. Solar rectangular → 15m × 5m

37. Granja → 11 gallinas, 22 conejos

42. Triángulo rectángulo → 3, 4 y 5

43. Catetos → 6m y 8m

45. Depósito → Base 20m

47. Triángulo equilátero → 15,58 m²

50. Clase → 21 chicos, 9 chicas

51. Padre e hijo → Dentro de 8 años

62. Piso → 5 estudiantes a 84€

66. Dos números → 12 y 18

70. Catetos → 12m y 5m

78. Ciclista → 30 km/h, 4h

💡 Nota: Todos estos problemas están completamente resueltos en materiales adicionales. Para acceder a las soluciones paso a paso de cada uno, contáctame por WhatsApp.

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Conclusión: Practica y Mejora en Problemas de Ecuaciones

Los problemas de ecuaciones en 3º ESO requieren práctica constante y entender bien el planteamiento. La clave está en:

1. Leer bien el enunciado e identificar qué te piden
2. Definir las incógnitas claramente (x, y, etc.)
3. Plantear las ecuaciones correctamente
4. Resolver usando el método apropiado
5. Comprobar que la solución tiene sentido

💪 Recuerda: Estos 57 problemas cubren todos los tipos que aparecen en exámenes de 3º ESO. Si practicas con ellos regularmente, aprobar está garantizado.

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